Equação do Segundo Grau

Equação do 2º grau completa e equação do 2º grau incompleta
Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.

Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2º grau completa. A sentença matemática -2x2 + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2º grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.

-x2 + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2º grau incompleta, pois b = 0.

Neste outro exemplo, 3x2 - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

Veja este último exemplo de equação do 2º grau incompleta, 8x2 = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.



Resolução de equações do 2º grau
A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

Fórmula Geral de Resolução
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:



Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.

O valor b2 -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:



Resolução de equações do 2º grau incompletas
Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:



Portanto para equações do tipo ax2 + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .

Para o caso de apenas c = 0 temos:



Portanto para equações do tipo ax2 + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:



Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.

Discriminante da equação do 2º grau
O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.

Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b2 - 4ac, isto é: Δ = b2 - 4ac.

Discriminante menor que zero
Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois : Discriminante igual a zero Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois : Discriminante maior que zero Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois :



Conjunto Verdade de equações do 2º grau
A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir:

Para o caso das equações completas temos:



Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:



Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:



E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:





Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau
Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0

Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:



Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero.

Logo:

As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.