Na página onde foi tratado o tema Relações entre Coeficientes e Raízes em Equações do 2º Grau, foi comentado que as relações de Albert Girard, em alguns casos, nos permitem obter mentalmente as raízes de uma equação do segundo grau, mas como assim? Vamos estudar o tema, através da utilização de alguns exemplos.
Observe a seguinte equação:
x2 - 5x + 6 = 0
Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?
É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.
Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?"?
Segundo Girard, vimos que x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa o produto destas raízes.
Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.
Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:
Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.
Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.
Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2º grau
Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 - 6x + 5 = 0.
Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".
Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:
Portanto 1 e 5 são as raízes da equação x2 - 6x + 5 = 0.
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Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 + 2x - 8 = 0.
Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".
Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e 2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:
Portanto -4 e 2 são as raízes da equação x2 + 2x - 8 = 0.
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Encontre as raízes da equação do segundo grau 4x2 - 12x + 8 = 0.
Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.
Segundo Girard a soma das raízes é dada por:
E o produto é dado por:
Assim sendo, para S temos:
E para P temos:
Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".
Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:
Portanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x2 - 12x + 8 = 0.
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Quais as raízes da equação x2 + 4x + 12 = 0.
Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.
Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?
Calculemos então o discriminante da equação:
Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.
Portanto a equação x2 + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.
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Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.
Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.
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