Equação do Segundo Grau - Relações entre Coeficientes e Raízes

Através de estudos o matemático Albert Girard definiu relações entre as equações do segundo grau e suas raízes. Estas relações nos permitem obter a equação original a partir de suas raízes, assim também como em alguns casos podemos obter mentalmente as raízes de algumas equações, através da utilização destas relações.

Raízes de uma Equação do 2º grau
Abaixo temos as raízes de uma equação do segundo grau genérica:



Como já visto em outra página deste site, só existirão raízes reais para a equação, desde que Δ ≥ 0, pois não existe raiz quadrada real de um número negativo.

Soma das Raízes de Equações do 2º grau
Sendo x1 e x2 raízes de uma equação como definido acima, temos que a soma destas raízes será:



Logo a soma das raízes será dada por:





Produto das Raízes de Equações do 2º grau
Assim como no caso da soma, o produto das raízes x1 e x2 será:



Sabemos que Δ = b2 -4ac. Substituindo-o na equação temos:



Portanto o produto das raízes será dado por:





Construção de Equações do 2º grau a partir de suas Raízes
Através da fórmula geral de resolução, também conhecida como fórmula de Bhaskara, partimos de uma equação e chegamos às suas raízes. Agora, com base nas relações de Girard, veremos como a partir das raízes, chegarmos à equação.

A forma reduzida deste tipo de equação é ax2 + bx + c = 0. Realizando a divisão de ambos os membros por a temos:



Como supracitado nesta página:



E:



Chamemos de S a soma das raízes ( S = x1 + x2 ) e de P o seu produto ( P = x1 . x2 ). Substituindo na equação temos:



Portanto a equação x2 - Sx + P = 0, onde os coeficientes S e P representam respectivamente a soma e o produto das raízes, nos permite reconstruir a equação que possui estas raízes.



Exemplo
Para a fixação dos conceitos, tomemos uma equação, identifiquemos as suas raízes e a partir delas, através das relações de Girard cheguemos à equação novamente.

Parta da equação do segundo grau x2 - 5x - 24 = 0, encontre as suas raízes e a partir delas reconstrua a equação original.

Em primeiro lugar vamos encontrar as raízes da equação x1 e x2:



Note que pudemos encontrar duas raízes reais e diferentes para equação, justamente porque Δ > 0. Veja que nesta equação o valor de Δ é 121.

Agora que já conhecemos as suas raízes, através das relações de Girard iremos reconstruir a equação original.

Para a soma das raízes temos:



Para o produto das raízes temos:



Reconstruindo temos:



Portanto partimos da equação x2 - 5x - 24 = 0, encontramos as suas raízes reais x1 = 8 e x2 = -3 e a partir da soma e do produto delas, reconstruímos a equação original.