Psicologia Clínica São Bernardo do Campo

quinta-feira, 28 de outubro de 2010

Frações Mistas e Impróprias

Fração própria é toda fração cujo numerador possui menor valor absoluto que o do seu denominador. A fração 3/7 é um exemplo de fração própria. Frações próprias representam apenas parte de um inteiro.


As frações impróprias, no entanto possuem numerador com valor absoluto maior que o do seu denominador. A fração 7/3 é um exemplo de fração imprópria.

A fração 7/3 representa mais que uma fração de um inteiro. Na verdade ela representa 2 inteiros e 1/3.

Podemos dizer que é equivalente a .

A fração (dois inteiros e um terço) é uma fração mista. Frações mistas possuem uma parte inteira que neste caso é igual a 2 e uma parte fracionária que neste caso é igual a 1/3.

Conversão de Frações Impróprias em Frações Mistas
O método para a realização de tal conversão é bastante simples. Dividimos o numerador pelo denominador. O resto da divisão será utilizado como o numerador da parte fracionária. O quociente será a parte inteira e o denominador será o mesmo da fração original.

Vamos converter a fração 7/3 para um exemplo prático:

Sabemos que o numerador da fração é o número 7 e que o seu denominador é o número 3.

Ao dividirmos 7 por 3 iremos obter o quociente 2 que será a parte inteira da fração mista.

O resto desta divisão é igual a 1, valor este que será o numerador da parte fracionária.

O denominador da parte fracionária continuará a ser o número 3.

Temos então que:



Tópico relacionado
Divisores de um Número Natural
E como ficaria a conversão da fração 6/3?

Ao realizarmos a divisão de 6 por 3 percebemos que o resto é 0, já que 6 é múltiplo de 3. Neste caso a conversão ao invés de gerar uma fração mista, irá produzir apenas um número inteiro, o quociente da divisão que neste caso é 2.

Frações cujo numerador sejam divisiveis pelo seu denominador são chamadas de frações aparentes, já que as mesmas podem ser expressas na forma de um simples número inteiro.



Conversão de Frações Mistas em Frações Impróprias
A realização desta conversão é mais simples ainda. Vamos converter a fração mista de volta à fração imprópria :

Primeiramente pegamos o 2 da parte inteira e o multiplicamos pelo 3 do denominador da fração, em seguida somamos este produto (6) ao numerador atual 1 para obtermos o novo numerador 7. O denominador da parte fracionária continuará a ser o número 3.

Logo temos que:



Exemplos Frações Impróprias e suas Frações Mistas Equivalentes
Para uma melhor fixação do explicado neste tópico, observe a frações abaixo e faça as conversões nos dois sentidos.
















Consulte também a página sobre como realizar operações aritméticas com frações para saber como proceder no caso de frações impróprias.

Cálculo de Área

Aproveitando uma promoção de uma loja de materiais para construção, uma família resolve trocar o piso da sala de sua residência. Sabem que a sala mede 4 metros de largura e possui um comprimento de 5,5 metros. Sabem também que o ladrilho desejado é quadrado, com 25 cm de lado. Quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar o piso da sala inteira?

Área é a denominação dada à medida de uma superfície. Na situação acima estamos nos referindo às áreas da sala e do ladrilho.

Partindo-se deste princípio, o nosso problema se resume ao cálculo da razão entre as áreas da sala e do ladrilho.

Para que você saiba solucionar, dentre outros, o problema acima, vamos então nos atentar ao método de cálculo da área das figuras geométricas planas mais comuns.

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.

Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.

A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:



A letra S representa a área ou superfície do triângulo.


No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:



Onde l representa a medida dos lados do triângulo.



Exemplos
A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?

Do enunciado temos:



Utilizando a fórmula:



A área deste triângulo é 12,25 cm2.


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Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

Segundo o enunciado temos:



Substituindo na fórmula:



A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2.


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Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:





Exemplos
A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?

Segundo o enunciado temos:



Substituindo na fórmula:



A área deste polígono é 7,8 dm2.


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Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?

Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:



Substituindo na fórmula:



A medida da área deste paralelogramo é 200 cm2 ou 2 dm2.


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Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.

Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.

Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.


Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.

Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:



Realizando as devidas simplificações chegaremos à formula:





Exemplos
As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:



Utilizando na fórmula temos:



A medida da superfície deste losango é de 75 cm2


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Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?

Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a fórmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a altura da figura geométrica, cujos valores temos abaixo:



Segundo a fórmula temos:



A medida da área do losango é de 108 cm2.


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Cálculo da Área do Quadrado
Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.

Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.


Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:



Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:




Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:



Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:





Exemplos
A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?

Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:



Substituindo na fórmula temos:



Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm2.


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A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?

Como o lado mede 20 cm, temos:



Substituindo na fórmula temos:



A área do quadrado é de 400 cm2.


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A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?

Temos que S é igual a 196.



Utilizando a fórmula temos:



Como a medida do lado não pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm.


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Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.

Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:





Exemplos
Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?

Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:



Utilizando a fórmula:



A área deste terreno é de 125 m2.


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A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?

Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:



Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:



Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm2.


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Cálculo da Área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:



Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a formula abaixo:



Onde r representa o raio do círculo.



Exemplos
A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:



Substituindo-o na fórmula:



A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.


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Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?

Do enunciado, temos que o valor do raio r é:



Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:



A superfície do círculo é de 228,05 mm2.


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Cálculo da Área de Setores Circulares

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.

Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:



Em radianos temos:



A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:



E a esta outra em radianos:



Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.



Exemplos
Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?

Aplicando a fórmula em graus temos:



A área do setor circular é de 37,6992 cm2.


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Qual é a superfície de um setor circular com ângulo de 0,5 rad e raio de 8 mm?

Aplicando a fórmula em radianos temos:



A superfície do setor circular é de 16 mm2.


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Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:



Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.



Exemplos
Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?

Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos:



A área da coroa circular é de 549,78 cm2.


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Qual é a superfície de uma coroa circular com r = 17 e R = 34?

Aplicando a fórmula em temos:



A superfície desta coroa circular é 2723,7672.

Exercícios resolvidos - Porcentagem

1) Quanto é 15% de 80?

Aulas de Porcentagem em Vídeo
Multiplique 15 por 80 e divida por 100:
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma decimal, que é 0,15 por 80:
15% de 80 é igual a 12.



2) Quanto é 70% de 30?
Multiplique 70 por 30 e divida por 100:
Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30:
70% de 30 é igual a 21.



3) Quanto é 150% de 45?
Multiplique 150 por 45 e divida por 100:
Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 1,50 por 45:
150% de 45 é igual a 67,5.



4) Quanto é 100% de 40?
Multiplique 100 por 40 e divida por 100:
Se você preferir pode multiplicar 100% na sua forma decimal, que é 1,00 por 40:
Na verdade você não precisa fazer conta alguma. Como você já sabe 100% representa o todo, por isto 100% de qualquer número será sempre o próprio número.
100% de 40 é igual a 40.



5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.
A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:
Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:
Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar este valor decimal por cem e acrescentar o símbolo "%" para termos a representação da porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%:
Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%.



6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha:
337.799 está para 70, assim como x está para 30:

Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da cidade:

Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:

Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes.



7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número?
Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal, iremos obter o número que 4% dele é igual a 15:

Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20:

Em uma única conta faríamos:

Note que concluímos multiplicando 15 por 5, o que fica bastante claro se pensarmos que 20% também é cinco vezes 4%.
20% do referido número é igual a 75.



8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário?
Vamos resolver este exercício montando uma regra de três:
O percentual que eu procuro (x) está para o desconto (R$ 240,00), assim como 100% está para o meu salário de R$ 1.200,00:

Portanto este desconto equivale a 20% por cento do meu salário.



9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?
Sem utilizarmos uma regra de três, basta que se divida o valor do qual se procura a porcentagem (12), pelo valor que representa os 100% (20) e que se multiplique o valor obtido por 100%:

Portanto a idade de meu irmão é 60% da minha idade.



10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?
Basta que se dividamos o valor do qual se procura a porcentagem (200), pelo valor que representa os 100% (160) e que se multiplique o valor obtido por 100%:

Portanto a velocidade máxima do carro do meu pai é 125% da velocidade máxima do meu carro. O percentual encontrado (125%) é maior que 100% porque o carro de meu pai é 25% mais veloz que o meu.



11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?
R$ 336,00 é 28% de R$ 1.200,00. Obtemos este valor dividindo-se 336 por 1200:
0,28 está na forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua forma percentual: 28%.
Portanto:
Eu perdi 28% desta quantia.



12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?
25 é 62,5% de 40. Obtemos este valor pela divisão de 25 por 40:
0,625 está na sua forma decimal, então o multiplicamos por 100% para colocá-lo na sua forma percentual: 62,5%. Este é o percentual de bolinhas que eu dei.
A diferença entre 40 e 25 é 15. Como 40 equivale a 100% e 25 equivale a 62,5%, então 15 equivale à diferença entre 100% e 62,5% que é 37,5%:
Chegaríamos também aos mesmos 37,5% se tivéssemos divido 15 que é a quantidade de bolinhas que ficaram comigo, por 40 que é a quantidade total.
Portanto:
Eu dei 62,5% das bolinhas de gude que eu possuía e fiquei com 37,5%.



13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?
12% de R$ 1.500,00 é R$ 180,00. Chegamos a este valor pela conta abaixo:
A diferença entre R$ 1.500,00 e R$ 180,00 é de R$ 1.320,00, conforme calculado a seguir:
Portanto:
Com o desconto percentual obtido de 12%, em valor obtive R$ 180,00 de desconto e acabei pagando R$ 1.320,00.



14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?
15% de 40 é 6. Chegamos a este valor pela conta abaixo:
A diferença entre 40 e 6 é de 34, conforme calculado a seguir:
Portanto:
Das 40 garrafas que estavam na mesa, eu quebrei 34 e sobraram apenas 6.



15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam?
75% de 28 é 21. Chegamos a este valor pela conta abaixo:
A diferença entre 28 e 21 é de 7, conforme calculado a seguir:
7 é o número de bombons que ainda me restam, mas poderìamos ter chegado a este resultado por outro caminho.
Como eu já comi 75% dos 100% dos bombons que eu possuía, ainda tenho 25% deles, basta então calcularmos quanto é 25% de 28:
Portanto:
Dos 28 bombons ainda me restam 7.



16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi?
60% de 30 é 18. Chegamos a este valor pela conta abaixo:
Portanto:
Eu vendi 18 das 30 peças logo na primeira saída.



17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente?
Digamos que originalmente eu tivesse x ovos. Como você sabe 10% pode ser escrito como 0,1 já que 10% equivale a 10 divididos por 100. Desde que minhas galinhas botaram uma quantidade equivalente a 10% da que eu possuía, isto equivale a dizer que além dos x ovos originais, agora eu possuo mais 0,1x, ou seja, agora eu tenho 1,1x ovos:
Só que quando eu tinha 1,1x ovos eu acabei perdendo 10% deles, ou seja, fiquei com 90% dos ovos, já que dos 100% eu perdi 10%:
0,99x representa 99% dos ovos que eu tinha originalmente e já que eu tinha 100%, ao ficar com 99% fiquei com 1% a menos que a quantidade original.
Portanto:
Inicialmente eu tinha mais ovos que agora.
De forma resumida, a quantidade original de ovos pode ser representada pelo número 1 (100% dos ovos).
Como foram acrescentados mais 10%, este acréscimo de 10% equivale a 100% + 10%, ou seja, equivale a 110% que é equivalente a 1,1.
Ao perder 10% eu fiquei apenas com 90% dos ovos, ou seja, fiquei com 0,9 deles.
Multiplicando-se tais valores teremos:
Estes 99% são os ovos que ainda me restam.



18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?
Estamos falando de acréscimo de porcentagem de porcentagem, já que os 6% originais foram aumentados em 120%. Vejamos como vai ficar a resolução:
Ou seja, o aumento conseguido foi de 13,2%, mas podemos pensar na resolução do problema de uma outra forma:
O aumento conseguido originalmente era de 6%, este percentual equivale a 100% do aumento conseguido, mas como conseguiu-se mais 120% de aumento, então o passamos a ter 220% ( 100% + 120%) de aumento sobre os 6%, logo o problema consiste em se calcular 220% de 6%:
Portanto:
O percentual de reajuste conseguido pela categoria foi 13,2%.



19) Quanto é 60% de 200% de 80%?
Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais. Todos eles devem ser passados para a sua forma decimal, exceto o último:
Portanto:
60% de 200% de 80% é igual a 96%



20) Quanto é 45% de 90% de 180?
Neste tipo de exercício devemos multiplicar todos os percentuais passados para a sua forma decimal, pelo número que se deseja achar o percentual:
Portanto:
45% de 90% de 180 é 72,9.



21) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?
Se dividirmos 0,96, que corresponde ao peso do gelo, por 2,4, que corresponde ao peso total, iremos obter 0,4, que se multiplicado por 100, nos dará o percentual procurado:

Fui lesado em 40% do peso. É este o percentual equivalente aos 960g de gelo que paguei como se fosse frango.



22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população?
Para que você tenha uma melhor compreensão, montemos uma regra de três:
Temos 16 ratos brancos para cada 100 ratos, assim como teremos x ratos brancos se tivermos 250 ratos.

De forma geral, sem que você tenha que montar sempre a regra de três, basta que você multiplique o valor do qual você quer achar o percentual (250 neste caso) pela porcentagem (16 neste exemplo), dividindo em seguida este produto por 100 (sempre 100 por ser tratar de porcentagem).
Portanto o número de ratos brancos desta população é de 40 ratos brancos.



23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso?
Resolvendo da forma simplificada temos:

Se você quiser simplificar ainda mais o cálculo, basta que você pegue a porcentagem na sua forma decimal, ou seja, 0,15 ao invés de 15% e que a multiplique pelo número em questão (20 neste caso), temos então:

Logo eu possuo em meu bolso 3 moedas de um real.



24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?
Resolvendo da forma mais simplificada temos:

Portanto eu possuo apenas uma irmã.



25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?
Vamos dizer que originalmente o rolo custasse x, então o preço do metro de papel seria .
Depois o rolo ainda custava x, mas o preço do metro de papel seria , que seria obviamente maior que antes, já que temos menos papel ao mesmo custo.
Ao dividirmos por e subtrairmos 1 iremos obter na forma decimal qual foi o aumento no preço do produto:

Como sabemos, aproximadamente 0,3333 na forma decimal equivale a 33,33%.
Como você pode ter reparado a variável x utilizada na solução do problema acabou sendo simplificada por ela mesma. De forma mais simples em exercícios deste tipo você pode simplesmente realizar as contas tal como abaixo:

Tal artimanha provocou o aumento de cerca de 33,33% no preço do metro do papel.



26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?
Como o guarda-roupa foi comprado com 5% de desconto, isto equivale a dizer que foi comprado por 95% (0,95 na forma decimal) do seu preço:

Dividindo-se 2204 por 0,95, iremos obter o preço do produto sem qualquer desconto:

Como o preço à vista seria de R$ 1.972,00 e o preço sem nenhum desconto é de R$ 2.320,00, o desconto obtido seria de R$ 348,00:

Resta-nos calcular quantos por cento é 348 de 2320, o que podemos fazer dividindo-se 348 por 2320:

0,15 é o resultado procurado, mas na forma decimal, multiplicando-o por 100% iremos obter o resultado na forma percentual:
15%
Portanto se o guarda-roupa tivesse sido comprado à vista, o desconto percentual teria sido de 15%

Equação Biquadrada

Qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax4 + bx2 + c = 0, com a, b e c pertencente ao conjunto dos números reais, sendo que a ≠ 0,denomina-se equação biquadrada na variável x.

Resolução de equações biquadradas
A resolução de uma equação biquadrada ax4 + bx2 + c = 0 pode ser efetuada nos seguintes passos:

Começamos substituindo, na equação inicial, x2 por y, assim como x4 por y2, desta forma temos:

ay2 + by + c = 0

Solucionamos a equação do segundo grau obtida, para identificarmos as suas raízes y1 e y2:

Substituímos os valores de y na expressão x2 = y para finalmente obtermos as raízes da equação biquadrada.

Para y1 temos:



Para y2 temos:



O conjunto verdade da equação biquadrada será:





Exemplo de resolução de uma equação biquadrada
Encontre as raízes da equação biquadrada: 3x4 - 102x2 + 675 = 0

Conforme explicado, na equação vamos substituir x4 por y2 e também x2 e y, obtendo então a seguinte equação do segundo grau:

3y2 - 102y + 675 = 0

Resolvendo a mesma temos:



Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada:

Para y1 temos:



Para y2 temos:



Assim sendo:

As raízes da equação 3x4 - 102x2 + 675 = 0 são: -5, -3, 3 e 5.

Equação do Segundo Grau - Relações entre Coeficientes e Raízes

Através de estudos o matemático Albert Girard definiu relações entre as equações do segundo grau e suas raízes. Estas relações nos permitem obter a equação original a partir de suas raízes, assim também como em alguns casos podemos obter mentalmente as raízes de algumas equações, através da utilização destas relações.

Raízes de uma Equação do 2º grau
Abaixo temos as raízes de uma equação do segundo grau genérica:



Como já visto em outra página deste site, só existirão raízes reais para a equação, desde que Δ ≥ 0, pois não existe raiz quadrada real de um número negativo.

Soma das Raízes de Equações do 2º grau
Sendo x1 e x2 raízes de uma equação como definido acima, temos que a soma destas raízes será:



Logo a soma das raízes será dada por:





Produto das Raízes de Equações do 2º grau
Assim como no caso da soma, o produto das raízes x1 e x2 será:



Sabemos que Δ = b2 -4ac. Substituindo-o na equação temos:



Portanto o produto das raízes será dado por:





Construção de Equações do 2º grau a partir de suas Raízes
Através da fórmula geral de resolução, também conhecida como fórmula de Bhaskara, partimos de uma equação e chegamos às suas raízes. Agora, com base nas relações de Girard, veremos como a partir das raízes, chegarmos à equação.

A forma reduzida deste tipo de equação é ax2 + bx + c = 0. Realizando a divisão de ambos os membros por a temos:



Como supracitado nesta página:



E:



Chamemos de S a soma das raízes ( S = x1 + x2 ) e de P o seu produto ( P = x1 . x2 ). Substituindo na equação temos:



Portanto a equação x2 - Sx + P = 0, onde os coeficientes S e P representam respectivamente a soma e o produto das raízes, nos permite reconstruir a equação que possui estas raízes.



Exemplo
Para a fixação dos conceitos, tomemos uma equação, identifiquemos as suas raízes e a partir delas, através das relações de Girard cheguemos à equação novamente.

Parta da equação do segundo grau x2 - 5x - 24 = 0, encontre as suas raízes e a partir delas reconstrua a equação original.

Em primeiro lugar vamos encontrar as raízes da equação x1 e x2:



Note que pudemos encontrar duas raízes reais e diferentes para equação, justamente porque Δ > 0. Veja que nesta equação o valor de Δ é 121.

Agora que já conhecemos as suas raízes, através das relações de Girard iremos reconstruir a equação original.

Para a soma das raízes temos:



Para o produto das raízes temos:



Reconstruindo temos:



Portanto partimos da equação x2 - 5x - 24 = 0, encontramos as suas raízes reais x1 = 8 e x2 = -3 e a partir da soma e do produto delas, reconstruímos a equação original.

Calculadora de Equações do Segundo Grau

Esta calculadora resolve passo a passo equações do segundo grau completas e incompletas, com a seguinte forma:



Nas caixas de texto superiores informe o numerador das frações (a, c, e). Nas inferiores informe os seus denominadores (b, d, f) e nas caixas centrais informe o sinal +/- que as precede.

Com exceção do primeiro termo que não pode ser igual a zero, caso contrário não teríamos uma equação do segundo grau, os demais termos caso sejam iguais a zero devem ser deixados em branco, tanto o termo em si, quanto o operador da linha central.

Você só pode informar números inteiros sem sinal e os denominadores podem ficar em branco, assim como as caixas centrais se for o caso.

Resolva a equação abaixo:


+ -
--------------------------------------------------------------------------------
x2 + -
--------------------------------------------------------------------------------
x + -
--------------------------------------------------------------------------------
= 0








Veja a resolução passo a passo da equação do segundo grau
Vamos encontrar os valores numéricos que atribuídos à variável x, tornem verdadeira a seguinte equação:





--------------------------------------------------------------------------------


Os valores dos coeficientes a, b e c desta equação são os seguintes:





--------------------------------------------------------------------------------


Equação do Segundo Grau Completa
Como temos uma equação do segundo grau completa, iremos calcular o seu discriminante a fim de podermos analisar se ela possui raízes reais ou não.

O discriminante da equação ax2 + bx + c = 0 é representado por: Δ = b2 - 4ac.

Substituindo os coeficientes na fórmula do discriminante temos:







Discriminante maior que zero
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois:

Vamos recorrer à fórmula geral de resolução, vista abaixo, para solucionarmos a equação:



Vejamos:











Racionalização do Denominador de uma Fração
Como você deve ter percebido acima, quando tínhamos no denominador da fração, a mesma foi multiplicada por uma fração equivalente a 1, com numerador e denominador também iguais a , para que transformássemos o denominador em um número racional, pois como sabemos, a raiz quadrada de um número natural é um número irracional sempre que o radicando não for um quadrado perfeito.



Lembrete sobre a Radiciação do Discriminante
Caso você não se recorde, a radiciação do Δ pode ser tratada através da decomposição em fatores primos como mostrado abaixo, principalmente no caso de números que não são os quadrados perfeitos com os quais você já está familiarizado:

Equação do Segundo Grau - Calculando Facilmente suas Raízes

Na página onde foi tratado o tema Relações entre Coeficientes e Raízes em Equações do 2º Grau, foi comentado que as relações de Albert Girard, em alguns casos, nos permitem obter mentalmente as raízes de uma equação do segundo grau, mas como assim? Vamos estudar o tema, através da utilização de alguns exemplos.

Observe a seguinte equação:

x2 - 5x + 6 = 0

Agora me diga: Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?

É muito provável que mentalmente você tenha identificado rapidamente que os dois números procurados são 2 e 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.

Mas de onde surgiu a questão "Quais são os dois números que somados totalizam 5 e que multiplicados resultam em 6?"?

Segundo Girard, vimos que x2 - Sx + P = 0, onde S representa a soma das raízes da equação e P representa o produto destas raízes.

Neste nosso exemplo S está sendo representado pelo coeficiente 5, assim como P está sendo representado pelo coeficiente 6, por isto me referi a 5 como sendo a soma das raízes e a 6, como sendo o seu produto.

Para conferência, vamos aos cálculos pelo método tradicional:



Como não poderia deixar de ser, as raízes encontradas são exatamente 2 e 3.

Vamos a outros exemplos para que você tenha uma melhor compreensão do assunto e elimine qualquer possível dúvida.



Exemplos de Identificação Mental das Raízes de uma Equação do 2º grau
Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 - 6x + 5 = 0.

Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 6 e cujo produto é igual 5?".

Sem qualquer esforço podemos chegar a 1 e 5. Conferindo através da fórmula temos:



Portanto 1 e 5 são as raízes da equação x2 - 6x + 5 = 0.


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Encontre as raízes da equação do segundo grau x2 + 2x - 8 = 0.

Podemos nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a -2 e cujo produto é igual -8?".

Neste caso, com um pouquinho mais de esforço, já que há o envolvimento de números negativos, chegamos a -4 e 2, pois -4 + 2 = -2 e -4 . 2 = -8. Conferindo via fórmula:



Portanto -4 e 2 são as raízes da equação x2 + 2x - 8 = 0.


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Encontre as raízes da equação do segundo grau 4x2 - 12x + 8 = 0.

Neste outro exemplo temos uma situação um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficiente a era sempre igual a 1, o que simplificava a utilização deste artifício, mas neste caso ele é igual a 4.

Segundo Girard a soma das raízes é dada por:



E o produto é dado por:



Assim sendo, para S temos:



E para P temos:



Podemos então nos perguntar: "Quais são os dois números cuja soma é igual a 3 e cujo produto é igual 2?".

Facilmente chegamos a 1 e 2, pois 1 + 2 = 3 e 1 . 2 = 2. Conferindo via fórmula:



Portanto 1 e 2 são as raízes da equação 4x2 - 12x + 8 = 0.


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Quais as raízes da equação x2 + 4x + 12 = 0.

Para finalizar este tema, vamos resolver este último exemplo.

Veja que por mais que você se esforce em descobrir quais são os números que somados totalizam -4 e que multiplicados dão 12, jamais conseguirá encontrá-los dentre os números reais, simplesmente porque eles não existem. Sabe por quê?

Calculemos então o discriminante da equação:



Como Δ = -32, isto é, como o discriminante da equação é negativo, a mesma não possui raízes reais.

Portanto a equação x2 + 4x + 12 = 0 não possui raízes reais.


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Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os números, este é um recurso que podemos utilizar, sempre que possível, nos casos onde facilmente encontramos as raízes, só de "bater os olhos" na equação. Em outros casos é melhor procurarmos um outro método mais adequado.

Com um pouco de treino, este é um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas raízes de equações do segundo grau.

Equação do Segundo Grau

Equação do 2º grau completa e equação do 2º grau incompleta
Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.

Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2º grau completa. A sentença matemática -2x2 + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2º grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.

-x2 + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2º grau incompleta, pois b = 0.

Neste outro exemplo, 3x2 - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

Veja este último exemplo de equação do 2º grau incompleta, 8x2 = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.



Resolução de equações do 2º grau
A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

Fórmula Geral de Resolução
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:



Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.

O valor b2 -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:



Resolução de equações do 2º grau incompletas
Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:



Portanto para equações do tipo ax2 + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .

Para o caso de apenas c = 0 temos:



Portanto para equações do tipo ax2 + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:



Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.

Discriminante da equação do 2º grau
O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.

Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b2 - 4ac, isto é: Δ = b2 - 4ac.

Discriminante menor que zero
Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois : Discriminante igual a zero Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois : Discriminante maior que zero Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois :



Conjunto Verdade de equações do 2º grau
A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir:

Para o caso das equações completas temos:



Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:



Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:



E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:





Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau
Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0

Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:



Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero.

Logo:

As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.

Exercícios resolvidos - Sistemas de Equação do 1º Grau com 2 Incógnitas

1) Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafas de um litro e meio, quanto de 600 ml. Qual é a quantidade de garrafas de cada capacidade sabendo-se que são 13 garrafas no total?
Talvez a maior dificuldade ao resolvermos sistemas de equação do 1º grau com 2 incógnitas, não seja a resolução do sistema em si, pois basta escolhermos um dos dois métodos de resolução de sistemas apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.
Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litros são 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.
Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidade de refrigerante.
Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.
Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos a primeira equação:

O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um total de 13 garrafas. Temos então a segunda equação:

Eis portanto o nosso sistema:

Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos da segunda equação por -0,6:

Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.
Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:

Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindo o termo 7,2:

Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor de y:

Portanto para ordenado (8, 5) é a solução do referido sistema.
Na geladeira de Ana há 8 garrafas de 1500 ml e 5 garrafas de 600 ml.



2) Pedrinho comprou duas coxinhas e um refrigerante pelos quais pagou R$ 7,00. Seu irmão Joãozinho comprou uma coxinha e um refrigerante a mais, pagando R$ 11,50. Qual é o preço do refrigerante e o da coxinha?
Para montarmos as equações vamos utilizar a incógnita c para representar a quantidade de coxinhas e a variável r para a representação da quantidade de refrigerantes.
Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos:

Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$ 11,50, temos:

Temos então o seguinte sistema:

Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiro membro, a incógnita r da primeira equação:

Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações mais simples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça simplificar a resolução do sistema.
Agora vamos substituir r na segunda equação:

A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r:

Então:
O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50.



3) Em uma prateleira há 42 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 18,5 kg. Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja o mesmo que o número de embalagens de 500 g?
Para que as quantidades fiquem iguais, precisamos retirar da prateleira a diferença entre elas. Se representarmos a maior quantidade por x e a menor quantidade por y, precisamos retirar x - y embalagens de 400 g.
Obviamente primeiro é preciso obter o valor de x e y. Para isto iremos montar com estas duas variáveis um sistema de equações do primeiro grau.
A partir do enunciado podemos facilmente montar o seguinte sistema:

A primeira equação representa que a quantidade de embalagens com 400 g, juntamente com a quantidade com 500 g totalizam 42 embalagens.
A segunda equação representa que a massa das embalagens com 400 g, mais a massa das embalagens com 500 g totalizam 18,5 kg. Observe que passamos a massa das embalagens para kg, pois a massa total também está em kg, no entanto poderíamos ter passado a massa total para g se desejássemos.
Vamos resolver este exercício pelo método da substituição. Para que possamos eliminar a variável y, vamos multiplicar todos os termos da primeira equação pelo oposto do coeficiente de y na segunda equação que é -0,5:

Agora podemos somar as duas equações:

Para obtermos o valor de y vamos substituir o valor de x na primeira equação:

Como x = 25 e y = 17 a diferença x - y é igual a 8, portanto:
8 embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número destas embalagens seja o mesmo que o número das embalagens de 500 g.



4) Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo jogador possui 8 fichas com um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possui este jogador?
Como sempre vamos atribuir uma letra a cada uma das variáveis do problema. Para as fichas com duas figuras vamos atribuir a letra x e para as fichas com quatro figuras vamos atribuir a letra y.
Lendo o enunciado fica evidente a primeira equação:

Como a letra x está associada às fichas com 2 figuras, assim como a letra y às fichas com quatro figura e como no total temos 22 figuras, podemos escrever a segunda equação:

Então temos que solucionar o seguinte sistema:

Vamos solucioná-lo pelo método da substituição, primeiramente isolando no primeiro membro a incógnita x da primeira equação:

Agora vamos substituir o resultado obtido na segunda equação:

Finalmente vamos obter o valor de x:

Portanto:
Este jogador possui 5 fichas com duas figuras e 3 fichas com quatro figuras.



5) Possuo R$ 2.300,00 em notas de R$ 50,00 e R$ 100,00, totalizando 30 notas. Quantas notas possuo de cada valor?
Representando por x as notas de R$ 50,00 e por y as notas de R$ 100,00, a partir das informações do problema podemos equacionar o seguinte sistema:

Vamos utilizar o método da adição e para que não fiquemos com nenhum termo negativo após efetuarmos a soma, vamos escolher eliminar a variável x e não a y. Para isto iremos multiplicar por -50 todos os termos da primeira equação, valor este simétrico ao coeficiente de x na segunda equação:

Após executarmos a soma e isolarmos y temos:

E por fim, substituindo o valor de y na primeira equação:

Logo:
Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de R$ 100,00.



6) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B, terei que desembolsar R$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9 unidades do produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é o preço unitário de cada um dos produtos?
Os dados do problema nos levam ao seguinte sistema:

Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Iremos começar multiplicando a primeira equação por -3:

Agora realizaremos a soma:

Note que chegamos a uma sentença inválida, portanto o sistema é impossível, não admitindo soluções.
Logo:
Não é possível obtermos o preço unitário de cada um dos produtos.



7) No supermercado comprei arroz a R$ 2,00/kg e feijão a R$ 3,00/kg, pagando R$ 13,00. Na vendinha do seu Joaquim o arroz teria custado R$ 3,00/kg e o feijão R$ 4,50/kg, pagando R$ 19,50 no total. Quantos quilogramas foram comprados de cada item?
Do enunciado chegamos ao sistema:

Vamos isolar a variável A da primeira equação para aplicarmos o método da substituição:

Agora vamos substituir A na segunda equação:


Logo o sistema é possível e indeterminado, possuindo uma infinidade de soluções.
Então:
As informações do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções.



8) Em um pasto há tanto bois quanto cavalos, num total de 50 animais. Somando-se o número de patas de bois ao número de patas de cavalos, obtemos um total de 180 patas. Quantos cavalos temos no pasto, sabendo-se que todos os animais são normais?
Vamos representar os cavalos pela incógnita C e o bois pela incógnita B e a partir destas variáveis expressarmos as duas equações que nos permitirão formar um sistema de equações com duas variáveis.
Inicialmente o enunciado nos diz que:

Como cavalos e bois normais possuem 4 patas, do enunciado tiramos a segunda equação:

Podemos então montar o seguinte sistema:

Na primeira equação, vamos isolar a variável B, já que estamos em busca do número de cavalos. Se estivéssemos em busca da quantidade de bois, iríamos isolar a variável referente aos cavalos:

Agora vamos substituir B na segunda equação para obtermos o número de cavalos. Foi por isto que no passo anterior isolamos a variável B e não a C:

Como já vimos, esta sentença inválida no indica que este sistema não possui soluções, o que já era de se esperar, já que sendo normais os animais, teríamos que ter 200 patas no total e não apenas 180, mas neste caso ainda assim não teríamos como identificar o número de cavalos, já que o sistema seria possível indeterminado, visto que no final iríamos obter a sentença 0 = 0.
Logo:
Não é possível se calcular o número de cavalos, pois estamos diante de um sistema impossível.



9) Têm-se vários quadrados iguais e também vários triângulos iguais. Se destes tomarmos dois triângulos e quatro quadrados, a soma das suas áreas será igual a 784 cm2, já se tomarmos apenas um triângulo e dois quadrados, a soma das suas áreas será igual a 392 cm2. Qual é a área de cada um destes triângulos e quadrados?
Para equacionarmos o problema, vamos atribuir a letra T aos triângulos e a letra Q aos quadrados, então a partir do enunciado podemos montar o seguinte sistema de equações com duas variáveis:

Vamos resolvê-lo pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2 e adicionando à primeira:

O fato de termos chegado a 0 = 0 nos indica que este é um sistema possível e indeterminado, pois embora haja solução para o mesmo, não temos apenas uma única solução.
Logo:
Os dados do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidade de soluções.



10) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são estes números?
Representando por x o número maior e por y o número menor, temos o seguinte sistema a resolver:

É bastante claro para nós que ao somarmos as equações iremos eliminar os termos com a variável y e é isto o que iremos fazer para apuramos o valor de x:

Agora vamos obter o valor de y trocando o x na primeira equação pelo valor encontrado:

Pronto:
Os números são 354 e 176.

Equação do Primeiro Grau com Duas Variáveis

Como já explicado no tópico Equação, equação do 1º grau com duas incógnitas, é qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax + by = c, onde x e y são incógnitas e a, b e c são números racionais, com a ≠ 0 e b ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação.

Como também já explicamos no referido tópico, a resolução de problemas de equação do 1º grau com uma incógnita, resume-se a isolarmos a incógnita no primeiro membro, obtendo assim a raiz da equação no segundo membro.

Abaixo temos um exemplo de um problema envolvendo uma equação do 1º grau com duas incógnitas:

"Em minha sapateira tenho sapatos meus e de minha esposa. A sapateira tem capacidade para o armazenamento de 20 pares de sapatos e no momento está lotada. Quantos pares são meus e quantos são de minha esposa?"

Assumindo que a incógnita x represente os meus pares de sapato e que y represente os pares dela, podemos montar a seguinte equação:

x + y = 20

Resolução de equações do 1º grau com duas incógnitas
Antes mesmo de qualquer explicação você pode intuir que a equação x + y = 20 admite várias soluções.

x = 5 e y = 15 é uma das possíveis soluções, já que a soma de 5 com 15 totaliza 20, o que torna a equação verdadeira.

Como a representação de sapatos é realizada pelo conjunto dos números naturais, já que não faria sentido termos sapatos fracionários ou negativos, por exemplo, temos uma solução para qualquer valor de x entre 0 e 20 inclusive, desde que y seja igual a 20 - x, por exemplo, se x = 8, então y = 12.

Matematicamente podemos fazer a seguinte representação:

S = {x, y ∈ N | x ≤ 20, y = 20 - x}

Com x e y sendo números naturais, temos 21 soluções possíveis para este problema, no entanto se não houvesse a restrição para números fracionários ou negativos, teríamos infinitas soluções, pois qualquer que fosse o valor arbitrado a x, bastaríamos subtrair tal valor de 20, para encontrarmos o correspondente valor de y que tornasse a equação verdadeira, por exemplo, se arbitrarmos -30 a x, temos que y = 50, pois 20 - (-30) = 50.

Regra geral para a resolução de equações do primeiro grau com mais de uma variável
Para que você possa obter uma solução para uma equação do primeiro com duas ou mais incógnitas, você deve atribuir um valor aleatório a todas as incógnitas, exceto a uma. Os valores atribuídos devem estar contidos no conjunto universo da equação. A partir daí você terá uma equação do primeiro grau com uma incógnita, cuja solução irá compor a solução da equação original, se o valor encontrado estiver contido no conjunto universo da equação.

Veja este exemplo:

2x + 3y - z = 40 , sendo que o conjunto universo é: U = {x, y, z ∈ N}

Como as incógnitas são números naturais, segundo o seu conjunto universo, só podemos atribuir valores inteiros e positivos às variáveis, ou então o número 0. Podemos então arbitrar 10 a x e 20 a y, para então encontrarmos o valor de z. Vejamos:



Como 40 ∈ N, então uma dentre as infinitas soluções seria: S = {10, 20, 40}

Agora observe o que aconteceria se tivéssemos arbitrado 3 a x e 5 a y:



Note que -19 não é um número natural, portanto {3, 5, -19} não está contido no conjunto universo desta equação e por isto não pode ser sua solução.

EXERCÍCIOS DE EQUAÇÃO DO 1 GRAU.

Exercícios resolvidos - Equação do Primeiro Grau
Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:
Equação do Primeiro Grau

1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?
Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.
Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.
Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:
x + 8 = 28 - x
A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.
O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.
x + x + 8 = 28
x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.
2x + 8 = 28
Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:
2x = 28 - 8
Realizando a subtração:
2x = 20
O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:
x = 10
Portanto:
Eu tenho 10 carrinhos.



2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei de dinheiro para pagar a mercadoria?
Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:

O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:

Realizando as subtrações:

O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:

Que dividindo dá:

Tomemos então o primeiro membro da equação inicial

Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:

Portanto:
Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.



3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?
Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:
Eu tenho 15 anos de idade.



4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?
Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.
A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:

O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.
Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.
Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:

Ao fazermos a subtração:

Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:

Que dividindo dá:

Portanto:
O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.



5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?
Chamemos de v o volume da chuva hoje.
Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:
O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.



6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?





Portanto:
S = { 4,5 }.



7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?




Portanto:
7/11 é a raiz da equação.



8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o conjunto solução desta equação?




Portanto:
S = {} é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao conjunto universo.



9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?





Portanto:
V = {4/5} é o conjunto solução da equação.



10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?



Portanto:
Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.

O QUE É UMA EQUAÇÃO ?

Uma equação é uma sentença matemática formada por uma igualdade composta por expressões matemáticas contendo ao menos uma incógnita. Cada uma das expressões da igualdade contém coeficientes e incógnitas. Os coeficientes são os valores determinados. As incógnitas são os valores desconhecidos que dependendo do valor que assumam, podem tornar a equação verdadeira ou falsa.

Uma equação pode possuir inúmeros coeficientes e incógnitas.

A igualdade -8x - 4 = -2x + 14 é um exemplo de equação.

A expressão à esquerda do sinal de igualdade é chamada de primeiro membro. Já a expressão à direita do sinal de igualdade é chamada de segundo membro.

No termo -8x do primeiro membro, o número -8 é um coeficiente e a letra x é uma incógnita.

O termo 14 do segundo membro, por exemplo, é um termo constante, pois não varia em função de qualquer incógnita.

Raiz de uma equação
A igualdade 3x - 5 = x + 15 é uma equação verdadeira quando x = 10, pois neste caso ambos os lados da expressão resultarão no mesmo valor 25, já que 3 . 10 - 5 = 10 + 15, ou seja, 25 = 25. Neste exemplo o número 10 é a raiz ou solução da equação, pois ao substituir a incógnita torna a equação verdadeira.

Conjunto Universo
O conjunto universo contém todos valores possíveis para as incógnitas. É indicado pela letra U.

Dada a equação 2x + 4 = 0, tendo sido determinado que a incógnita x só pode assumir os valores -2, 0 e 2, temos então que o conjunto universo desta equação é:

U = { -2, 0, 2 }.

Conjunto Verdade ou Conjunto Solução
O conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto dos valores de U que são raízes da equação, ou seja, são os valores que ao substituírem as incógnitas tornam a equação verdadeira. Indica-se por V ou S.

Para a equação 2x + 4 = 0, cujo conjunto universo é U = { -2, 0, 2 }, temos que destes três elementos apenas o elemento -2 torna a equação verdadeira, pois 2 . (-2) + 4 = 0, temos então que o conjunto verdade ou solução é:

V = { -2 } ou S = { -2 }.

Equações equivalentes
Duas equações são ditas equivalentes se possuírem a mesma raiz.

3x - 5 = x + 15 e

3x = x + 20 são equações equivalentes, pois em ambas, caso troquemos x por 10, a igualdade será verdadeira. 10 é raiz de ambas as equações. Por isto são equivalentes.

Princípio aditivo da igualdade
Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, ainda teremos uma igualdade.

Tomando-se como exemplo a igualdade 3x - 5 = x + 15, utilizada anteriormente acima, se somarmos o número 5 em ambos os seus membros teremos a igualdade 3x - 5 + 5 = x + 15 + 5, que é equivalente a 3x = x + 20. Observe que a raiz ou solução desta equação é igual à raiz da equação original, ou seja, para que a igualdade seja verdadeira, ainda é preciso que x continue sendo igual a 10.

Observe que se subtrairmos x dos dois membros da equação 3x = x + 20 ainda continuaremos com uma igualdade:

3x - x = x + 20 - x, que é equivalente a 2x = 20.

Atente ao fato de que a raiz da equação 2x = 20 também é igual a 10, pois 2 . 10 = 20.

Princípio multiplicativo da igualdade
Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, ainda teremos uma igualdade.

Se dividirmos ambos os membros da equação 2x = 20 por 2, teremos a equação 2x : 2 = 20 : 2, que é equivalente à equação x = 10, cuja raiz obviamente é igual a 10.

Para um maior aprofundamento no assunto, veja também os demais tópicos relacionados.